Fundada en 2003 en Madrid por Inés López-Quesada y Silvia Ortiz, Travesía Cuatro se ha dedicado desde entonces a renovar constantemente su enfoque y sus metas como galería. Inicialmente, el objetivo era apuntar a la necesidad de crear un vínculo tangible entre las escenas artísticas de Europa y América Latina, y su programa ha estado centrado desde los primeros años en la representación de artistas españoles y mexicanos, lo que culminó en 2013 en la apertura de un segundo espacio en la ciudad de Guadalajara, México, en la Casa Franco diseñada por Luis Barragán.
Actualmente, lo que se busca es reflejar la polifonía y la diversidad de discursos que existen dentro de estos contextos y en años recientes ha incorporado a su programa artistas internacionales. Siendo algunos jóvenes y otros establecidos, mantienen propuestas estéticas que, a través de una dimensión poética, reflejan una postura sociopolítica definida para así construir un diálogo pertinente en relación a la identidad, la economía global y la multiculturalidad. Travesía Cuatro ha constituido una voz propia que aboga por el uso interdisciplinario del arte como una herramienta activa para poner en perspectiva crítica los eventos del mundo contemporáneo. En 2019 se inauguró Travesía Cuatro en la Ciudad de México.